Більшість чисел неможливо назвати — і це можна довести

Слова для чисел у нас скінчилися давно, і це можна довести.

Почнімо з лічби: 1, 2, 3 і так без кінця. Тепер візьмімо всі числа між нулем і одиницею, кожен нескінченний дріб. Обидві множини нескінченні, тож кортить назвати їх однаковими за розміром. У 1870-х Георг Кантор запитав, чи справді вони однакові, і довів, що ні.

Його доказ можна мало не показати на пальцях. Припустімо, ти даєш мені повний список усіх чисел між нулем і одиницею: рядок 1, рядок 2, рядок 3 і так донизу. Я будую нове число ось як. Його першу цифру роблю іншою, ніж перша цифра рядка 1, другу — іншою, ніж друга цифра рядка 2, і так по діагоналі. Число, яке виходить, відрізняється від кожного рядка твого списку щонайменше в одному місці, тож його там бути не може. Жоден список не вмістить їх усіх. Дійсних чисел строго більше, ніж лічильних. Одна нескінченність більша за іншу.

А ось що мене бентежить. Будь-яка назва, формула чи комп’ютерна програма — це скінченний рядок символів, і всі можливі скінченні рядки можна вишикувати в один список. Тобто описів рівно стільки ж, скільки лічильних чисел, тобто менша нескінченність. А дійсних чисел більша. Описів просто не вистачає на всіх. Майже кожне число, що існує, не має ні назви, ні формули, ні правила, ні скінченного опису жодною мовою. Не «ще не відкрите». Неописуване. Числа, про які ми взагалі говоримо, як число пі чи корінь із двох, — це тонесенький пил на прямій, яка майже вся невимовна.

І це не зупиняється на двох розмірах. Кантор показав, що множина всіх підмножин будь-якої множини завжди строго більша за неї саму. Отже, над дійсними числами є більша нескінченність, а над нею ще більша, і так без верху. Нескінченні сходи нескінченностей.

Кантор побачив це далі за будь-кого живого, і це йому дорого коштувало. Його колишній учитель називав його шарлатаном і «розбещувачем молоді» та блокував йому кар’єру. Останні роки він провів по лікарнях і в одній з них помер. Через десятиліття Давид Гільберт захистив те, що Кантор збудував:

«Ніхто не вижене нас із раю, який створив для нас Кантор».

Рай, з якого власного творця зацькували геть, збудований на одному простому й нищівному факті: майже кожне число, що існує, неможливо назвати, і всі вони лежать просто отут, між нулем і одиницею.